Aproximación fuerte del movimiento browniano fraccional moviendo promedios de simples paseos al azar Paacutel Reacuteveacutesz con ocasión de su 65 cumpleaños Tamaacutes Szabados Departamento de Matemáticas, Universidad Técnica de Budapest, Egry u 20-22, H eacutep. V em. Budapest 1521, Hungría recibió 19 diciembre de 1999, revisado 29 de agosto de 2000, Aceptado el 4 de septiembre de 2000, disponible en línea el 9 de febrero de 2001Abstract El movimiento browniano fraccional es una generalización del movimiento browniano ordinaria, utilizada sobre todo cuando se requiere una dependencia a largo plazo. Su introducción explícita se debe a Mandelbrot y van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) como un proceso Gaussiano W auto-similar (H) (t) con incrementos estacionarios. Aquí auto-similitud significa que. donde H ISIN (0,1) es el parámetro de Hurst del movimiento browniano fraccional. PENSIÓN COMPLETA. Knight dio una construcción del movimiento browniano ordinaria como límite de paseos aleatorios simples en 1961. Más tarde, su método se simplifica por Reacuteveacutesz (Random Walk in aleatoria y no aleatoria entornos, World Scientific, Singapur, 1990) y luego por Szabados (Studia Sci . Math. Hung. 31 (1996) 249ndash297). Este enfoque es muy natural y elemental, y como tal, se puede extender a situaciones más generales. Con base en esto, aquí usamos promedios de una secuencia anidada adecuada de paseos aleatorios simples que casi con toda seguridad convergen uniformemente al movimiento browniano fraccional en los compactos cuando se mueve. La velocidad de convergencia demostró en este caso es. donde N es el número de pasos que se utilizan para la aproximación. Si el más preciso (pero también más compleja) Komloacutes et al. (1975,1976) aproximación se utiliza en lugar de incrustar paseos aleatorios en movimiento Browniano ordinario, a continuación, el mismo tipo de medias móviles es casi seguro que convergen uniformemente al movimiento browniano fraccional en los compactos para cualquier ISIN H (0,1). Por otra parte, la velocidad de convergencia se conjetura que ser el mejor posible. aunque sólo se demuestra aquí. Palabras clave MSC fraccional Browniano construcción de movimiento PathWise fuerte aproximación paseo aleatorio Media móvil 1. El movimiento browniano fraccional El movimiento browniano fraccional (FBM) es una generalización del movimiento Browniano ordinario (BM) que se utiliza sobre todo cuando dependencia a largo plazo es esencial. Aunque la historia de la FBM se remonta a Kolmogorov (1940) y otros, su introducción explícita se debe a Mandelbrot y Van Ness (1968). Su intención era la de definir un auto-similares. proceso de Gauss centrada W (H) (t) (t0) con incrementos fijos, pero no independientes y con trayectorias de la muestra continuas a. s. Aquí auto-similitud significa que para cualquier un Gt0, donde H ISIN (0,1) es el parámetro de Hurst del FBM y denota la igualdad en la distribución. Ellos demostraron que estas propiedades caracterizan FBM. El caso se reduce a BM normal con incrementos independientes, mientras que los casos (resp.) Dan negativamente (resp. Positivamente) incrementos correlacionados ver Mandelbrot y van Ness (1968). Parece que en las aplicaciones de la FBM, el caso es el más frecuentemente utilizado. Mandelbrot y van Ness (1968) dieron la siguiente representación explícita de FBM como una media móvil de corriente, pero de dos caras BM: donde t 0 y (x) max (x, 0). La idea de (2) está relacionada con el cálculo fraccional determinista. los cuales tiene una historia aún más larga que FBM, volviendo a Liouville, Riemann, y otros ven en Samko et al. (1993). Su caso más simple es cuando se les da una función continua f y un entero positivo. A continuación, una inducción con la integración por partes puede demostrar que es el orden primitiva (o el orden integral) de f iterado. Por otra parte, esta integral está bien definida para valores positivos de no enteros, así, en cuyo caso se le puede llamar una integral fraccional de f. Por lo tanto, de forma heurística, la parte principal de (2), es el orden integral de la (en sentido ordinario no existente) proceso de ruido blanco W prime (t). Por lo tanto, la fBM W (H) (t) puede considerarse como una modificación de incremento estacionario de la integral fraccional W (t) del proceso de ruido blanco, donde. Resumen A partir del promedio móvil (MA) (FBM), se introduce la clase de procesos fraccionarios LxE9vy (FLPs) sustituyendo el movimiento browniano por un proceso LxE9vy general con media cero, varianza finita y ninguna componente browniana. Presentamos diferentes métodos de construcción FLPs y el estudio de segundo orden y la trayectoria de la muestra de propiedades. Los FLP tienen la misma estructura de segundo orden que la FBM y, dependiendo de la medida LxE9vy, no siempre son semimartingales. Consideramos integrales con respecto a FLPs y procesos MA con la propiedad de memoria larga. En particular, mostramos que el proceso de MA conducido con LxE9vy con núcleo integrado fraccionalmente coincide con el proceso MA con el núcleo correspondiente (no fraccionadamente integrado) y accionado por el correspondiente FLP. Información del artículo Fechas Disponible en primer lugar en el proyecto Euclid: 4 de diciembre de 2006 Enlace permanente a este documento proyecciolacompuerto. es/euclid. bj/1165269152 Identificador Digital de objeto doi: 10.3150 / bj / 1165269152 Citación Marquardt, Tina. Fraccional LxE9vy procesos con una aplicación a la memoria larga moviendo procesos promedio. Bernoulli 12 (2006), núm. 6, 1099 - 1126. Doi: 10.3150 / bj / 1165269152. Projecteuclid. org/euclid. bj/1165269152. Exportación Referencias 1 Barndorff-Nielsen, O. E. Y Shephard, N. (2001) Modelos no Gaussianos de Ornstein-Uhlenbeck y algunos de sus usos en economía financiera (con discusión). J. Roy. Estadístico. Soc. Ser. B, 63, 167 - 241. 2 Benassi, A. Cohen, S. e Istas, J. (2004) Sobre índices de rugosidad para campos fraccionarios. Bernoulli, 10, 357-373.3 Bender, C. (2003) Integración con respecto a un movimiento browniano fraccional y modelos de mercado relacionados. 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Su introducción explícita se debe a Mandelbrot y van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) como un proceso gaussiano auto-similar W (H) (t) con incrementos estacionarios. Aquí la auto-similitud significa que (a - H W (H) (at): t0) d - (W (H) (t): t0), donde H (0, 1) es el parámetro Hurst del movimiento browniano fraccionario. PENSIÓN COMPLETA. Knight dio una construcción del movimiento browniano ordinario como límite de los paseos al azar simples en 1961. Más adelante su método fue simplificado por Rvsz (Random Walk in Random and Non-Random Environments, World Scientific, Singapur, 1990) y luego por Szabados (Studia Sci , Math. Hung. 31 (1996) 249 - 297). Este enfoque es muy natural y elemental, y como tal, se puede extender a situaciones más generales. Basado en esto, aquí usamos los promedios móviles de una secuencia anidada adecuada de caminatas aleatorias simples que casi seguramente convergen uniformemente al movimiento browniano fraccional en compactos cuando H (1/4, 1). La tasa de convergencia demostrada en este caso es O (N-min (H-1 / 4,1-4) log N), donde N es el número de pasos utilizados para la aproximación. Si el más preciso (pero también más intrincado) Komls et al. (1975, 1976) se utiliza en cambio para insertar caminos aleatorios en el movimiento browniano ordinario, entonces el mismo tipo de promedios móviles casi sin duda convergen uniformemente al movimiento browniano fraccionario en compactos para cualquier H (0, 1). Por otra parte, la tasa de convergencia se conjetura a ser el mejor posible O (N-H log N), aunque sólo O (N-min (H, 1/2) log N) se demuestra aquí. Revue / Diario Diario Fuente / Fuente 2001, vol. Lengua / Editeur / Publisher Elsevier, Amsterdam, PAYS-BAS (1973) (Revue) Mots-cls anglais / English Palabras clave Movimiento browniano fraccional Fuente: en. wikipedia. org / Wiki / FractionalBrownianmotion Actualizado: 2016-07-28T01: 15Z En teoría de la probabilidad. Movimiento browniano fraccional (fBm). También llamado un movimiento browniano fractal. Es una generalización del movimiento browniano. A diferencia del movimiento browniano clásico, los incrementos de fBm no necesitan ser independientes. FBm es un proceso gaussiano de tiempo continuo BH (t) sobre 0,160 T, que comienza en cero, tiene una expectativa cero para todo t en 0,160 T, y tiene la siguiente función de covarianza: donde H es un número real en (0,1601) , Denominado el índice de Hurst o el parámetro de Hurst asociado al movimiento browniano fraccionario. El exponente de Hurst describe la desigualdad del movimiento resultante, con un valor más alto que conduce a un movimiento más suave. Fue presentado por Mandelbrot amp van Ness (1968). El valor de H determina qué tipo de proceso es el fBm: si H 1/2 entonces el proceso es de hecho un movimiento browniano o un proceso de Wiener si H gt 1/2 entonces los incrementos del proceso están positivamente correlacionados si H lt 1 / 2 entonces los incrementos del proceso están negativamente correlacionados. También hay una generalización del movimiento browniano fraccional: n-orden fracción de movimiento browniano. Abreviado como n-fBm. 1 n-fBm es un Gaussiano. Auto-similar, no estacionario proceso cuyos incrementos de orden n son estacionarios. Para n 1601601, n-fBm es fBm clásico. Al igual que el movimiento browniano que generaliza, el movimiento browniano fraccionario se nombra después de que el biólogo del siglo XIX, Robert Brown, el ruido fraccionario gaussiano se nombra después del matemático Carl Friedrich Gauss. Antes de la introducción del movimiento browniano fraccional, Lvy (1953) utilizó la integral fraccional de RiemannLiouville para definir el proceso donde la integración es con respecto a la medida de ruido blanco dB (s). Esta integral resulta inadecuada para las aplicaciones del movimiento browniano fraccionario debido a su excesivo énfasis en el origen (Mandelbrot amp van Ness, 1968. p.160424). La idea es utilizar una integral fraccional diferente de ruido blanco para definir el proceso: la integral de Weyl para t 160gt 0 (y similarmente para t 160lt 0). La principal diferencia entre el movimiento browniano fraccionario y el movimiento browniano regular es que mientras los incrementos en el movimiento browniano son independientes, lo contrario es cierto para el movimiento browniano fraccionario. Esta dependencia significa que si hay un patrón creciente en los pasos anteriores, entonces es probable que el paso actual esté aumentando también. (Si H gt 1/2.) Propiedades Auto-similitud Esta propiedad se debe al hecho de que la función de covarianza es homogénea de orden 2H y puede ser considerada como una propiedad fractal. El movimiento browniano fraccional es el único proceso gaussiano auto-similar. Incrementos estacionarios Tiene incrementos estacionarios: Dependencia a largo plazo Regularidad Los trazados de muestra son casi imposibles de diferenciar. Sin embargo, casi todas las trayectorias son Hlder continuas de cualquier orden estrictamente inferior a H. Para cada una de tales trayectorias, para cada T 160gt1600 existe una constante c tal que la integración de la dimensión como para el movimiento browniano regular, se pueden definir las integrales estocásticas con respecto al movimiento browniano fraccionario, usualmente llamadas integrales estocásticas fraccionales. En general, sin embargo, a diferencia de las integrales con respecto al movimiento browniano regular, las integrales estocásticas fraccionales no son semimartingales. Rutas de ejemplo Se pueden generar realizaciones prácticas de un fBm. 2, aunque son sólo una aproximación finita. Las rutas de muestreo elegidas pueden considerarse como mostrando puntos discretos de muestreo en un proceso de fBm. Tres realizaciones se muestran a continuación, cada una con 1000 puntos de un fBm con Hurst parámetro1600.75. H 0.75 realización 1Deconvolución del Movimiento Browniano Fraccional Vladas Pipiras Universidad de Carolina del Norte (UNC) en Chapel Hill - Departamento de Estadística Murad S. Taqqu Universidad de Boston - Departamento de Matemáticas y Estadística Demostramos que un movimiento browniano fraccional con HE (0,1) Puede representarse como una transformación explícita de un movimiento browniano fraccional con índice HE (0,1). En particular, cuando H1 / 2, obtenemos una fórmula de deconvolución (o representación autorregresiva) para el movimiento browniano fraccional. Trabajamos tanto en el dominio del tiempo como en el dominio espectral y contrastamos las ventajas de un dominio sobre el otro. Número de páginas en archivo PDF: 15 Fecha de publicación: 7 de mayo de 2003 Cita sugerida Pipiras, Vladas y Taqqu, Murad S. Deconvolución del movimiento browniano fraccional. Journal of Time Series Analysis, vol. 23, pp. 487-501, 2002. Disponible en SSRN: ssrn / abstract314487 Información de contacto
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